Ý tưởng của phép lây tích phân

Nếu bạn nào đã từng học đạo hàm, tích phân sẽ biết đến khái niệm tổng Riemann nhằm tính diện tích hình phẳng S� dưới đường cong f(x)�(�) giới hạn bởi hai đường x=a�=� và x=b�=�.

Bằng cách chia hình phẳng đấy thành nhiều hình chữ nhật nhỏ có cạnh đáy là một giá trị Δx rất nhỏ. Khi đó, tổng các diện tích hình chữ nhật nhỏ đấy trong đoạn a,b sẽ là:

(ký hiệu ∫ giống như chữ S kéo dài, viết tắt của chữ “sum” là lấy tổng, ở công thức trên ta có thể hiểm nôm na là tổng vô số lần diện tich các hình chữ nhật giới hạn từ a đến b).

Tuy nhiên, ý tưởng này rất phức tạp khi áp dụng vào thực tế. Hãy thử tưởng tượng bạn chia hình S ra thành 10001000 hình nhỏ rồi tính diện tích từng hình, sau đó cộng chúng lại và bạn không được sử dụng máy tính vì thời của Riemann máy tính chưa được phát minh. Rất may, Isaac Newton và Gottfried Leibniz đã tìm ra công cụ để giải quyết tình huống này bằng công thức:

với F′(x)=f(x)

Những công trình trên xuất phát vào khoảng thế kỷ 17, 18. Thế nhưng Archimedes đã biết được tư tưởng hình thành tích phân trước đó tận 2000 năm. Bài viết này sẽ trình bày điểm đáng chú ý nhất trong tất cả các ý tưởng của Archimedes.

Cách Archimedes tính diện tích một phần hình parabol

“Một phần parabol” đó là vùng hình phẳng bao bởi parabol và đường thẳng, ví dụ như vùng màu xanh sáng ở hình dưới đây.

Tôi dùng hình parabol đơn giản y=x^2 và 2 điểm mốc của đoạn thẳng là A(−1,1)và B(2,4). Định lý của Archimedes áp dụng được với bất kỳ đường parabol và bất kỳ đường thẳng nào cắt ngang đường parabol đó. (Đương nhiên trên thực tế Archimedes không dùng hệ trục tọa độ Oxy vì thời của ông chưa ai phát minh ra trục này, mãi đến thế kỷ 17 thì Descartes mới phát minh ra.)

Archimedes sau đó đặt điểm C sao cho hoành độ x của điểm này bằng một nửa khoảng cách của hoành độ x của A đến hoành độ x của B. Sau đó ông ta xây dựng tam giác ABCnhư sau:

Ở ví dụ này, giá trị hoành độ x� của C� là 0.5, cách mỗi điểm x=−1và x=2 là 1.5  đơn vị.

Archimedes đã chứng minh được rằng diện tích một phần parabol (vùng có màu xanh sáng) bằng 4/3 diện tích tam giác ABC

Ông đã dùng “Phương pháp vét cạn” (Method of Exhaustion) để cho ra kết quả này. Ý tưởng phương pháp này đó là tìm diện tích hình cong bằng cách vẽ các hình ngũ giác nhỏ dần liên tiếp nhau, nội tiếp trong hình cong cho đến khi nào lấp đầy hình cong. Ta có thể tính được diện tích hình ngũ giác, từ đó suy ra được diện tích hình cong.

Bây giờ ta xây dựng một tam giác khác bằng cách chọn một điểm D trên parabol sao cho giá trị x của điểm này bằng một nửa khoảng cách giá trị x của A và C giống như ta đã làm.

Hãy phóng to và xem kết quả

Ta tiếp tục quy trình trên trên đoạn BC, tức đặt điểm E sao cho giá trị x của E bằng một nửa khoảng cách giữa C và D.

Ta có thể thấy rằng nếu ta cộng diện tích của các tam giác ABC,ACD và BCE với nhau, ta sẽ được giá trị xấp xỉ hợp lý cho diện tích một phần hình parabol, nhưng ta có thể có được kết quả xấp xỉ tốt hơn nữa.

Nếu ta tiếp tục quy trình này, ta sẽ tạo dựng thêm 4 tam giác nữa như hình dưới đây.

Bạn sẽ thấy một phần hình parabol sẽ còn lại một số “vùng trắng nhỏ” và nếu ta cộng diện tích của 7 tam giác này, ta sẽ thu được giá trị xấp xỉ còn tốt hơn cho diện tích một phần hình parabol.

Nếu ta cộng diện tích một lượng vô hạn các hình tam giác, ta sẽ được giá trị chính xác cho diện tích một phần hình parabol.

Bây giờ, diện tích của mỗi hình tam giác màu xanh lá sáng bằng 1818 diện tích hình tam giác màu hồng, bởi vì tam giác màu xanh lá có độ rộng bằng 1212 độ rộng tam giác màu hồng (vì ta đã xây dựng chúng như vậy) và có chiều cao bằng 1414 chiều cao tam giác màu hồng (ta có thể dùng phương trình tham số để chứng minh điều này.)

Sau đó, ta mô tả các tam giác màu đỏ, chúng sẽ có diện tích bằng 1818diện tích của tam giác màu xanh lá sáng.

Vậy, nếu ta giả sử diện tích của tam giác màu hồng lớn là X�, thì tổng diện tích của tất cả các hình tam giác sẽ là:

Ta nhận thấy biểu thức ở trong ngoặc chính là một cấp số nhân có công bội là r=14 và phần tử đầu tiên a=1. Kết quả tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này sẽ là:
Tổng=a1−r=11−14=43 (Archimedes đã sử dụng chứng minh hình học cho tổng này nên chúng còn được gọi là chuỗi hình học).

Vậy tổng diện tích của các tam giác (kết quả này cho ta diện tích của một phần parabol màu xanh sáng) là 4*X/3, bằng 4/3diện tích của tam giác màu hồng, đúng như Archimedes đã đề cập.

Ý tưởng đằng sau giải pháp này rất tương đồng với ý tưởng phát triển tích phân

Kiểm tra lại bằng tích phân

Ta sẽ dùng tích phân để kiểm chứng đáp án mà Archimedes đề ra.

Ở vì dụ này, với y=x^2 và đường y=x+2 cắt ngang parabol tại điểm (−1,1)(−1,1) và (2,4)(2,4), tam giác hồng có cạnh AC=1.68=1.68 đơn vị và chiều cao là 4.02 đơn vị, nên diện tích tam giác này là:
Diện tích ΔABC=0.5×1.68×4.02=3.38 đơn vị2Diện tích Δ=0.5×1.68×4.02=3.38 đơn vị2
Vậy, liện hệ đến Archimedes, diện tích của một phần parabol (xanh sáng) sẽ là
Diện tích một phần parabol =43×3.38=4.5 đơn vị2Diện tích một phần parabol =43×3.38=4.5 đơn vị2
Bây giờ, ta hãy so sáng đáp án này với đáp án dùng tích phân. Diện tích cần tính chính là diện tích hình phẳng giữa 2 đường cong. Đường cong trên là đường y2=x+2 và đường cong dưới là y1=x^2

Cận của tích phân là x=−1và x=2

Vậy ta có cùng đáp án là 4.5 đơn vị24.5 đơn vị2.

Cách làm của Archimedes để tính diện tích một phần hình parabol là thành quả rất xuất sắc. Trước thời của Newton và Leibniz thiết lập nên vi tích phân đến 2000 năm, Archimedes đã có được ý tưởng tương tự như việc sử dụng tích phân ngày nay.