Ngày nay để di chuyển khắp thế giới ta chỉ cần bản đồ, và đơn giản nhất là 1 smartphone cài google map. Nhưng có những chỗ không có bản đồ và cũng chẳng có sóng điện thoại. Ví dụ khi bạn đi rừng hay đi biển. Đó là một vấn đề mà nhiều, rất nhiều người tự hỏi trong hơn hàng triệu năm. Những người đi biển gan dạ đã sử dụng mặt trời và các ngôi sao để điều hướng đường đi. Và để làm được điều này, họ cần hiểu biết về hình học, đặc biệt là lượng giác.

Chắc chắn chúng ta cũng nghe nhiều đến sao Bắc Đẩu, nó cố định để xác đinh hướng bắc địa lý. Nhưng chỉ biết hướng bắc là chưa đủ. Chúng ta cùng xem có thể tính ra vị trí đang đứng trên trài đất dự vào sao bắc đẩu và kiến thức lượng giác như thế nào nhé.

Giả sử bạn đang ở ngoài biển khơi và bạn muốn tính toán vĩ độ vị trí của bạn. Mặt Trời và hầu hết các ngôi sao đều thay đổi vị trí trên bầu trời theo thời gian. Nhưng có một số ngôi sao luôn xuất hiện ở cùng một chỗ, ví dụ như sao Bắc Đẩu, hay còn gọi là sao Bắc Cực, luôn luôn xuất hiện ở phía trên cực Bắc. Ngôi sao này chỉ ra rằng vĩ độ của bạn là góc của sao Bắc Đẩu xuất hiện hợp với đường chân trời.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh hai chiều. Xét mặt phẳng có hướng cực Bắc, điểm X đánh dấu vị trí của bạn và O là trọng tâm Trái Đất. Trên thực tế, sao Bắc Đẩu không đặt thẳng đứng trên X như trong hình mà là rất xa đến nỗi đường ngắm từ X đến sao Bắc Đẩu được coi gần như là thẳng đứng, vì vậy chúng ta giả sử rằng chúng thẳng đứng.

Góc độ “sao Bắc Đẩu hợp với đường chân trời” là góc θ trong hình, đây là góc của đường tầm mắt của ta đến sao Bắc Đẩu. Gọi đường tầm mắt là l, cắt đường tiếp tuyến t với Trái Đất tại X (đó là điểm tầm mắt của ta về phía chân trời).

Kéo dài t và l, chúng ta thấy góc θ ở phía bên kia qua điểm X

Vĩ độ của X được xác định là góc θ tạo bởi đoạn thẳng r từ O đến X và mặt phẳng chứa đường xích đạo. Trong hình hai chiều cho thấy mặt phẳng xích đạo là một đường nằm ngang e đi qua O, cắt đường thẳng đứng l tại điểm L và cắt đường tiếp tuyến t tại điểm T.

Chúng ta biết rằng r và t tạo một góc vuông ở X vì r là bán kính đường tròn và  là tiếp tuyến của đường tròn. Khi t và l tạo thành góc θ, ta biết được góc giữa l và r bằng 90o−θ

Xét tam giác với các đỉnh O, X và L. Như chúng ta thấy, góc của X=90o−θ. Vì l là chiều dọc và e là chiều ngang, góc tại L=90o và bởi vì các góc trong một tam giác luôn luôn bằng 180onên góc φ (góc của vĩ độ) được tính như sau:

φ=180∘−90∘−(90∘−θ)=θ

Và bây giờ, vĩ độ nơi bạn đứng chính là góc θ tạo bởi sao Bắc Đẩu với đường chân trời. Nhà thiên văn học Hipparchus người Hy Lạp đã xác định được vĩ độ bằng cách này hơn 2000 năm trước. Ông ta thậm chí còn không biết Trái Đất hình cầu. Hình ảnh ở trên nhằm giải thích tại sao định nghĩa của Hipparchus hợp lí với quan điểm hiện đại.

Không có sao Bắc Đẩu tương ứng ở phía Nam nhưng nếu bạn đang ở Nam Bán Cầu, để tìm ra vĩ độ bạn có thể sử dụng một chòm sao được gọi là chòm Nam thập tự (được mô tả trên lá cờ của Úc) và hai ngôi sao được gọi là “sao chỉ Nam”.

Qua hàng ngàn năm các thủy thủ vẫn sử dụng các dụng cụ khác nhau để đo góc tạo bởi vị trí xuất hiện của ngôi sao và đường chân trời. Dụng cụ bao gồm kính trắc tinh (một dụng cụ đo thiên thể thời xưa) khá đẹp và kính lục phân (dụng cụ để đo góc kẹp giữa hai vật thể, có thể trông thấy bằng mắt thường). Những vật dụng đó bạn có thể thấy thường xuyên ở những cửa hàng đồ cổ hay bảo tàng