Làm thế nào để biết Mặt Trăng cách Mặt Trời bao xa? Làm thế nào để biết được Mặt Trời lớn hơn Mặt Trăng bao nhiêu lần? Và làm thế nào để có được đáp án nếu bạn là một người Hy Lạp cổ đại, thời điểm không có đến một cái ống nhòm?

Tuy nhiên đối với Aristarchus, một nhà toán học ở Samos sống vào khoảng 2300 trước, ông đã dựa vào kiến thức hình học tuyệt vời của mình cùng với góc nhìn sâu sắc và quan trọng: Mặt Trăng sáng vào ban đêm do được Mặt Trời chiếu sáng lên bề mặt của nó, điều này rõ ràng khác với nhận định lúc bấy giờ, do đó có thể coi Aristarchus là người tiên phong trong việc nhận định ra điều này bởi mọi người lúc đó cho rằng Mặt Trời quay xung quanh Trái Đất, tuy nhiên Aristarchus lại cho rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời.

Với nhận định Mặt Trời chiếu sáng Mặt Trăng, Aristarchus nhận ra rằng tai một nửa Mặt Trăng, tam giác tạo bởi Trái Đất (E), Mặt Trăng (M) và Mặt Trời (S) có một góc vuông tại M.

Sơ đồ không tính tỉ lệ

Ta có thể nhận thấy điều này bằng cách tưởng tượng Mặt Trời tại những vị trí khác nhau chiếu chùm tia song song vào Mặt Trăng sao cho ta thấy đúng một nửa của Mặt Trăng được chiếu sáng (nhìn từ Trái Đất) khi và chỉ khi có một góc vuông tại M.

Aristarchus muốn dự đoán khoảng cách tương đối của Mặt Trời và Mặt Trăng, nghĩa là ông muốn dựa đoán tỉ lệ  ES/EM trong đó ES là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và EM là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Nếu bạn có kiến thức về lượng giác thì bạn sẽ biết rằng:

Trong đó α là số đo góc E của tam giác. Do đó

Nếu ta ước lượng α=89.85∘ thì ta có kết quả

Vì vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời lớn hơn 400 lần khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất. Aristarchus cũng chỉ ra rằng trong quá trình nhật thực Mặt Trăng hoàn toàn che phủ Mặt Trời. Điều này cho chúng ta sơ đồ sau

Bằng việc sử dụng dữ kiện tỉ lệ giữa ES1 và EM1 tương đương với tỉ lệ giữa S1S2 và M1M2 (do chúng ta đang xét đến hai tam giác đồng dạng) do đó ta có thể suy ra rằng đường kính Mặt Trời lớn hơn 400 lần so với đường kính Mặt Trăng.

Tuy nhiên kết quả mà Aristarchus đưa ra là rất khác so với thực tế. Ông ước tính rằng so với Trái Đất, Mặt Trời xa hơn từ 18 dến 20 lần so với Mặt Trăng. Điều này xảy ra một phần ông không tính chính xác α mà lại lấy xấp xỉ với 87∘87∘ và sử dụng giá trị này trong tính toán trên và cho rằng Mặt Trời xa khoảng 19 lần so với Mặt Trăng (lấy mốc là Trái Đất). Qua đó cho thấy rằng chỉ một sai số nhỏ trong góc α gần đến 90∘90∘ dẫn đến một sai số cực lớn của  1/cosα

Lý do tại sao Aristarchus chỉ có thể đưa ra đáp án trong khoảng từ 18 đến 20 chứ không phải là một con số cụ thể bởi vì vào thời điểm đó lượng giác học chưa được phát triển. Ông không hề có khái niệm gì về hàm cos hay một bảng các giá trị để tìm trị cos của một góc nhất định. Thay vào đó, ông đã sử dụng một số lập luận hình học phức tạp để tìm giá trị gần đúng cho riêng mình. Trên đây là một số ví dụ chỉ ra rằng tại sao hình học rất hữu ích cho các nhà thiên văn học.