Người Babilon đã giải phương trình bậc 2 cách đây gần 5000 năm như thế nào

Đại số đã có từ lâu, những người Babylon vào khoảng 3000 năm trước đều biết về công thức nổi tiếng đề giải phương trình bậc 2. Tuy nhiên, công thức đó lại bắt nguồn từ hình học. Họ cần phải giải các phương trình bậc 2 nhằm phục vụ cho việc tính toán diện tích cũng như quản lý đất đai.

Nhằm tưởng nhớ đến thành tựu này, chúng ta hãy cùng xem công thức giải phương trình bậc 2 dưới góc nhìn của hình học.

Bút tích của người Babylon vào khoảng 2800 năm trước Công nguyên

Cách người Babilon giải phương trình bậc 2 bằng hình học

Giả sử phương trình bậc 2 cần giải có dạng:

với p và q là hai số dương cho trước.

Hạng tử x^2 là diện tích một mảnh đất hình vuông có cạnh x. Hạng tử px chỉ diện tích một hình chữ nhật với độ dài một cạnh là x và cạnh còn lại là p. Chúng ta có thể xếp các hình lại với nhau để tạo hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật lớn này là x^2+px, dựa vào dạng phương trình bậc 2 đề ra, diện tích này bằng q. Tuy nhiên chúng ta có thể chuyển thành một hình ‘‘gần’’ hình vuông hơn bằng cách chia miếng hình chữ nhật nhỏ thành hai miếng có cạnh x và p/2 như sau:

và chuyển một miếng xuống đáy hình vuông:

Gọi hình mới này là R, và diện tích của hình này vẫn là x^2+px=q. Tuy nhiên nếu ta thêm một hình vuông cạnh p/2 vào góc nhỏ bên dưới R, ta có được hình vuông lớn với cạnh x+p/2 và diện tích là (x+p/2)^2, vậy ta có :

Lấy căn hai vế ta được :

Trừ p/2 ở hai vế ta được

Kết quả này liên quan gì đến phương trình bậc 2 ta đã học trong trường?

Ta hay viết dạng tổng quát của phương trình bậc 2 là :

Với a≠0 ta chia hai vế cho a

Chuyển vế ca sang phải, ta có

Kết hợp với phương trình ở đầu bài, ta đặt p=b/a, q=−c/a, thay vào p và q ở phương trình (1) ta thu được công thức tổng quát để giải phương trình bậc 2

Tổng kết

Cho rằng người Babylon biết công thức tổng quát cũng không hẳn đúng, bởi vì trước hết họ không có khái niệm gì về số âm, nghĩa là họ chỉ có thể giải phương trình bậc 2 có nghiệm dương. Hơn nữa họ lại không sử dụng kí hiệu hay phép toán như chúng ta đang làm mà họ sử dụng từ ngữ.

Tuy nhiên với sụ phát triển của văn mình nhân loại, ở gần 5000 nắm trước thì đây đã là 1 thành tựu cức kỳ có giá trị và đáng ghi nhận